Vérifié le · Sources officielles
En maths, un résultat juste mais non justifié rapporte peu : le correcteur ne note que ce qui est écrit. Savoir distinguer un exemple d’une preuve, répondre à un « vrai ou faux », démontrer avec des lettres et rédiger une solution complète, cela s’apprend. Méthode, erreurs fréquentes et quatre exemples corrigés.
En bref
- Où ça compte : dans tous les exercices de la partie mathématiques de l’écrit 1 (notée sur 10, épreuve de 4 h, coefficient 5), commune en 2027 au concours externe bac+3, au troisième concours et au second concours interne.
- Seuil éliminatoire : une note inférieure ou égale à 2,5 sur 10 à la partie mathématiques.
- Une règle simple : un exemple ne prouve jamais une propriété générale ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.
- Ce qu’on attend : les données utilisées, la propriété citée, des calculs exacts, une phrase de conclusion avec l’unité.
Sources : épreuves du bac+3, du troisième concours, du second concours interne, programme des épreuves. Vérifié le 26/10/2026.
Cette page fait partie de notre parcours maths au CRPE quand on n’est pas matheux. Elle complète la page sur l’écrit 1 du CRPE, qui présente le format de l’épreuve.
Ce qu’il faut savoir
Vérifier, justifier, démontrer
- Vérifier : constater qu’une propriété est vraie sur un ou plusieurs exemples. Utile pour se faire une idée, insuffisant pour conclure.
- Justifier : dire pourquoi une réponse est juste, en citant les données et la règle utilisée.
- Démontrer : établir qu’une propriété est vraie dans tous les cas, par un raisonnement (souvent avec des lettres).
Universel ou existentiel ?
« Pour tout nombre entier… » est une affirmation universelle : pour la prouver, il faut une démonstration ; pour la réfuter, un seul contre-exemple suffit. « Il existe un nombre… » est une affirmation existentielle : un seul exemple bien vérifié suffit à la prouver.
Si… alors, et la réciproque
La réciproque de « si A, alors B » est « si B, alors A ». L’une peut être vraie et l’autre fausse. « Si un nombre entier se termine par 0, il est divisible par 5 » est vrai ; la réciproque est fausse, car 15 est divisible par 5 sans se terminer par 0.
Le calcul littéral, outil de preuve
Pour parler de « n’importe quel entier », on le nomme n. Un nombre pair s’écrit 2k, un nombre impair 2k + 1, deux entiers consécutifs n et n + 1. Développer, factoriser puis lire l’expression obtenue permet de conclure pour tous les cas à la fois.
Méthode
Répondre à un « vrai ou faux »
- Tester l’affirmation sur quelques cas, y compris des cas « limites » (0, 1, un nombre décimal, un nombre négatif si c’est permis).
- Si un cas la contredit : c’est faux. Écrire le contre-exemple et le calcul qui le prouve.
- Si tous les essais marchent : chercher une démonstration générale. Les essais ne suffisent pas.
- Conclure par une phrase : « L’affirmation est vraie / fausse. »
Rédiger la solution d’un problème
- Annoncer ce qu’on calcule : « Calculons le nombre de carreaux nécessaires. »
- Citer les données et les propriétés utilisées.
- Poser les calculs proprement, une égalité juste par ligne, avec les unités.
- Contrôler l’ordre de grandeur.
- Conclure par une phrase qui répond exactement à la question posée.
Analyser la justification d’un élève
Trois questions : que prouve vraiment son argument ? Que ne prouve-t-il pas ? Quelle connaissance lui manque pour aller plus loin ? Un élève qui donne trois exemples a vérifié, il n’a pas démontré : on valorise la démarche avant de nommer ce qui manque.
Erreurs fréquentes
Ces erreurs viennent de notre travail sur les exercices du concours ; ce n’est pas une liste officielle. Les rapports de jury des académies, recensés sur la page Sujets et rapports de jury du ministère, décrivent ce que chaque jury a observé.
- Remplacer une démonstration par une série d’exemples.
- Donner un « contre-exemple » sans le calcul qui montre qu’il contredit l’affirmation.
- Utiliser une propriété à la place de sa réciproque.
- Enchaîner des égalités fausses : « 14 × 10 = 140 ÷ 12 = 11,67 ».
- Rendre un nombre « nu », sans phrase de conclusion ni unité.
- Arrondir sans tenir compte du contexte (on n’achète pas 11,67 boîtes).
Exemples corrigés
Ces exemples sont propres à cette page (ils ne figurent pas dans la fiche payante).
Exemple 1 · Démontrer avec des lettres
Démontrez que la différence entre les carrés de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.
Corrigé
Essais (pour se convaincre, pas pour prouver) : 4² − 3² = 16 − 9 = 7 ; 5² − 4² = 25 − 16 = 9 ; 11² − 10² = 121 − 100 = 21.
Démonstration : soit n un entier ; l’entier suivant est n + 1. On a (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1. Or 2n est pair, donc 2n + 1 est impair.
Conclusion : pour tout entier n, la différence des carrés de n + 1 et de n est un nombre impair. On remarque même qu’elle vaut n + (n + 1), la somme des deux entiers.
Exemple 2 · Un « vrai ou faux » à trancher par un contre-exemple
« Un nombre entier divisible par 2 et par 4 est divisible par 8. » Vrai ou faux ?
Corrigé
Des essais comme 16 ou 24 semblent confirmer l’affirmation, mais ils ne prouvent rien. Essayons 12 : 12 = 2 × 6 et 12 = 4 × 3, donc 12 est divisible par 2 et par 4 ; mais 12 ÷ 8 = 1,5 n’est pas un entier, donc 12 n’est pas divisible par 8.
Conclusion : l’affirmation est fausse ; 12 est un contre-exemple (4 en est un autre). Être divisible par 4 entraîne d’ailleurs être divisible par 2 : la condition « par 2 et par 4 » revient à « par 4 ».
Exemple 3 · Rédiger la solution d’un problème
On veut carreler une pièce rectangulaire de 4,2 m sur 3 m avec des carreaux carrés de 30 cm de côté, vendus par boîtes de 12. Combien de boîtes faut-il acheter ? (On suppose que les carreaux se posent sans découpe ni joint.)
Copie à éviter
420 ÷ 30 = 14 × 300 ÷ 30 = 140 ÷ 12 = 11,67. Réponse : 12
Copie attendue
Convertissons les dimensions en centimètres : 4,2 m = 420 cm et 3 m = 300 cm.
Dans la longueur, on pose 420 ÷ 30 = 14 carreaux ; dans la largeur, 300 ÷ 30 = 10 carreaux. Il faut donc 14 × 10 = 140 carreaux.
Contrôle par les aires : 4,2 × 3 = 12,6 m² et un carreau mesure 0,3 × 0,3 = 0,09 m² ; 12,6 ÷ 0,09 = 140.
Une boîte contient 12 carreaux : 11 boîtes en contiennent 132, c’est insuffisant ; 12 boîtes en contiennent 144, c’est suffisant.
Il faut acheter 12 boîtes ; il restera 4 carreaux.
Les deux copies trouvent 12, mais la première enchaîne des égalités fausses, n’a ni unité ni phrase, et arrondit sans expliquer pourquoi on arrondit au-dessus.
Exemple 4 · Analyser la réponse d’un élève
À la question « Un nombre qui se termine par 5 est-il toujours divisible par 5 ? », un élève répond : « Oui, parce que 15, 25 et 35 sont dans la table de 5. »
Corrigé
Ce que l’argument montre : la propriété est vraie sur trois exemples ; l’élève sait les vérifier.
Ce qu’il ne montre pas : qu’elle est vraie pour tous les nombres. Trois exemples ne prouvent pas une propriété générale.
Une piste pour aller plus loin : un nombre qui se termine par 5 s’écrit « un certain nombre de dizaines + 5 » ; or une dizaine, c’est 2 fois 5, et 5 est dans la table de 5, donc la somme aussi. C’est une preuve accessible en fin d’école, sans lettres.
Gratuit, sans compte
Savez-vous rédiger une justification ? Le test de niveau gratuit contient des questions sur ce thème et sur les cinq autres thèmes de la partie maths de l’écrit 1.
Pour aller plus loin
La fiche « Rédiger une justification » du Pack Maths va beaucoup plus loin : vocabulaire logique (condition nécessaire, suffisante, négation), disjonction de cas, programmes de calcul, copies à corriger, productions d’élèves et situations de classe, avec une grille de relecture réutilisable dans toutes les autres fiches.
Fiche maths n° 6 · PDF · 34 pages
Fiche « Rédiger une justification » : méthode et 15 exercices corrigés
Apprendre à écrire le « pourquoi » : distinguer exemple et preuve, démontrer avec des lettres, répondre à un vrai ou faux et rédiger une solution complète.
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Questions fréquentes
Une réponse juste sans justification rapporte-t-elle des points ?
Le barème détaillé n’est pas publié dans les textes que nous avons vérifiés. Mais le correcteur ne peut noter que ce qui est écrit : une démarche rédigée lui montre ce que vous avez compris, même si le résultat final est faux.
Faut-il savoir faire des démonstrations au CRPE ?
Oui, au niveau du collège : démontrer une propriété des nombres avec le calcul littéral, utiliser un théorème de géométrie et sa réciproque, réfuter par un contre-exemple. Le programme de référence pour 2027 est celui du cycle 4 en vigueur à la rentrée 2026.
Un exemple peut-il suffire ?
Oui pour prouver une affirmation existentielle (« il existe… ») ou pour réfuter une affirmation universelle (contre-exemple). Jamais pour prouver une affirmation universelle (« pour tout… »).
Comment présenter un calcul ?
Une égalité exacte par ligne, avec les unités, et une phrase de conclusion. N’écrivez jamais « = » entre deux quantités différentes pour enchaîner les étapes.
Les fautes d’orthographe comptent-elles en maths ?
Les textes que nous avons vérifiés ne détaillent pas ce point. Les rapports de jury des académies expliquent comment la qualité de la rédaction est prise en compte : lisez celui de votre académie.
Par quoi commencer ?
Par la distinction exemple, contre-exemple, démonstration, puis la rédaction d’un problème simple en cinq étapes. Le test de niveau gratuit vous dit si ce thème est une priorité.
Sources
Pages et textes officiels consultés le 26/10/2026. Les dates de mise à jour des pages du ministère n’ont pas pu être relevées : en cas de doute, la page officielle fait foi.
- Le programme des épreuves des concours externes bac+3 (devenirenseignant.gouv.fr)
- Les épreuves du concours externe bac+3 (devenirenseignant.gouv.fr)
- Les épreuves du troisième concours (devenirenseignant.gouv.fr)
- Les épreuves du second concours interne (devenirenseignant.gouv.fr)
- Exemples de sujets des concours externes bac+3 (devenirenseignant.gouv.fr)
- Les sujets des épreuves écrites et rapports des jurys des CRPE (devenirenseignant.gouv.fr)
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