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Nombres et calcul au CRPE

Mis à jour le

Les nombres entiers et le calcul sont le socle de la partie maths de l’écrit 1 : fractions, proportionnalité et mesures s’appuient dessus. Cette page reprend l’essentiel depuis le début, avec une méthode, les erreurs fréquentes et quatre exemples corrigés.

En bref

  • Où ça compte : dans la partie mathématiques de l’écrit 1 (notée sur 10, épreuve de 4 h, coefficient 5), commune en 2027 au concours externe bac+3, au troisième concours et au second concours interne.
  • Seuil éliminatoire : une note inférieure ou égale à 2,5 sur 10 à la partie mathématiques.
  • Niveau : programmes de mathématiques du cycle 4 (collège) en vigueur à la rentrée 2026.
  • Ce qu’on attend en plus : un vocabulaire exact (chiffre, nombre, multiple, diviseur, quotient, reste) et une justification écrite, puisque vous enseignerez ces notions dès le CP.

Sources : épreuves du bac+3, du troisième concours, du second concours interne, programme des épreuves.

Cette page fait partie de notre parcours maths au CRPE quand on n’est pas matheux. Pour savoir si ce thème est une priorité pour vous, commencez par le test de niveau gratuit.

Ce que dit le programme

Pour la session 2027, le programme des écrits repose sur les programmes du cycle 4 (collège) en vigueur à la rentrée 2026, selon la page Le programme des épreuves des concours externes bac+3 du ministère. Il n’y a donc pas de « programme maths du CRPE » à part : c’est celui du collège, attendu avec la précision de quelqu’un qui devra l’enseigner.

Ce qu’il faut savoir

Chiffre et nombre : la question piège

Un chiffre est un symbole (il y en a dix, de 0 à 9) ; un nombre est une quantité. Dans 8 204 375, le chiffre des centaines est 3, mais le nombre de centaines est 82 043 : c’est le nombre de paquets de cent qu’on peut faire. Lisez toujours le mot exact de la question.

Priorités de calcul

Sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions ; à priorité égale, on calcule de gauche à droite. Ainsi 20 − 4 × 3 = 20 − 12 = 8, alors que (20 − 4) × 3 = 16 × 3 = 48. Et 36 ÷ 6 × 2 = 6 × 2 = 12 (de gauche à droite), et non 36 ÷ 12 = 3.

Multiples, diviseurs, nombres premiers

Dire que 6 est un diviseur de 42, c’est dire que 42 est un multiple de 6 : il existe un entier k tel que 42 = 6 × k (ici k = 7). Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13… Le nombre 1 n’est pas premier. Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.

Critères à connaître : par 2, 5 ou 10 selon le chiffre des unités ; par 3 ou 9 selon la somme des chiffres ; par 4 selon le nombre formé par les deux derniers chiffres.

Division euclidienne

Diviser a par b (b non nul) au sens euclidien, c’est trouver le quotient q et le reste r tels que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. La condition sur le reste fait partie de la définition : 200 = 14 × 14 + 4 est la division euclidienne de 200 par 14 ; l’égalité 200 = 14 × 13 + 18 est vraie, mais ce n’en est pas une, car 18 est plus grand que 14.

PGCD et PPCM

Le PGCD de deux entiers est le plus grand de leurs diviseurs communs ; le PPCM est le plus petit de leurs multiples communs non nuls. Pour 6 et 8 : PGCD = 2 et PPCM = 24.

Méthode

Reconnaître l’outil dans un problème

  1. Partager sans reste en parts identiques, le plus grand possible : on cherche un diviseur commun, le plus grand : PGCD.
  2. Retrouver une coïncidence qui se répète (deux événements périodiques qui se produisent de nouveau ensemble) : PPCM.
  3. Faire des paquets d’une taille donnée : division euclidienne. On interprète ensuite le quotient et le reste dans le contexte (faut-il un paquet de plus pour le reste ?).
  4. Rédiger : nommer l’outil, montrer le calcul, conclure par une phrase avec l’unité.

Erreurs fréquentes

Les erreurs ci-dessous viennent de notre travail sur les exercices de maths du concours et des difficultés classiques des élèves ; ce n’est pas une liste officielle. Les rapports de jury des académies, recensés sur la page Sujets et rapports de jury du ministère, détaillent ce que chaque jury a observé.

  • Répondre par un chiffre quand la question demande un nombre (ou l’inverse).
  • Enchaîner des égalités fausses : « 7 × 6 = 42 + 8 = 50 ». Chaque signe « = » doit relier deux expressions de même valeur ; on écrit 7 × 6 + 8 = 42 + 8 = 50.
  • Croire qu’un nombre divisible par 4 et par 10 est divisible par 40 : 20 est un contre-exemple. On peut seulement conclure qu’il est divisible par PPCM(4 ; 10) = 20.
  • Croire que quelques exemples prouvent une propriété : ils ne prouvent rien, alors qu’un seul contre-exemple suffit à réfuter.

Exemples corrigés

Ces quatre exemples sont propres à cette page (ils ne figurent pas dans la fiche payante). Cherchez-les d’abord sur un brouillon, sans calculatrice.

Exemple 1 · Décomposer 1 386 et l’utiliser

Décomposez 1 386 en produit de facteurs premiers. Ce nombre est-il divisible par 21 ? Par 12 ? Justifiez sans poser de division.

Corrigé

1 386 est pair : 1 386 = 2 × 693. La somme des chiffres de 693 est 18, divisible par 9 : 693 = 9 × 77 = 3 × 3 × 77. Enfin 77 = 7 × 11. Donc 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11.

Par 21 : 21 = 3 × 7, et 3 et 7 figurent dans la décomposition, donc 1 386 est divisible par 21 (1 386 = 21 × 66).

Par 12 : 12 = 2² × 3. La décomposition de 1 386 ne contient le facteur 2 qu’une seule fois : 1 386 n’est pas divisible par 12. (Il est pourtant divisible par 2 et par 3.)

Exemple 2 · Des bouquets identiques

Une fleuriste dispose de 84 roses et de 126 tulipes. Elle veut composer des bouquets tous identiques en utilisant toutes les fleurs. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible, et quelle est alors la composition d’un bouquet ?

Corrigé

Le nombre de bouquets doit diviser 84 (sinon il resterait des roses) et 126 (sinon il resterait des tulipes) : c’est un diviseur commun. On cherche le plus grand, donc le PGCD.

Par les décompositions : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7, donc PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42.

Conclusion : la fleuriste peut composer au maximum 42 bouquets, chacun de 84 ÷ 42 = 2 roses et 126 ÷ 42 = 3 tulipes.

Exemple 3 · Analyser une erreur d’élève en numération

Un élève de CE2 doit écrire en chiffres le nombre formé de « 5 centaines, 12 dizaines et 3 unités ». Il écrit 5 123. Donnez le bon résultat, une origine probable de l’erreur et une aide.

Corrigé

Le bon résultat : 5 centaines + 12 dizaines + 3 unités = 500 + 120 + 3 = 623. En effet, 12 dizaines = 1 centaine et 2 dizaines : on a donc 6 centaines, 2 dizaines et 3 unités.

Origine probable : l’élève juxtapose les nombres lus dans l’ordre (5, puis 12, puis 3), comme s’il recopiait chaque nombre dans une case. Il n’a pas fait l’échange « 10 dizaines = 1 centaine ».

Aide possible : manipuler du matériel de numération (plaques, barres, cubes) et faire réellement l’échange de 10 barres contre 1 plaque ; puis un tableau de numération où l’on n’écrit qu’un chiffre par colonne.

Exemple 4 · Un nombre et son « retourné »

On ajoute un nombre de deux chiffres et le nombre obtenu en inversant ses chiffres (par exemple 47 + 74 = 121). Deux affirmations : (a) « Le résultat est toujours un multiple de 11. » (b) « Le résultat est toujours un multiple de 22. » Vraies ou fausses ? Justifiez.

Corrigé

(a) Vraie. Notons a le chiffre des dizaines et b celui des unités : le nombre vaut 10a + b et son retourné 10b + a. Leur somme vaut 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11 × (a + b). Comme a + b est un entier, la somme est toujours un multiple de 11. L’exemple 47 + 74 = 121 = 11 × 11 illustrait la propriété, mais ne la prouvait pas.

(b) Fausse. Un seul contre-exemple suffit : 12 + 21 = 33, qui n’est pas un multiple de 22 (33 = 22 × 1 + 11).

Gratuit, sans compte

Les nombres et le calcul sont-ils votre priorité ? Le test de niveau gratuit couvre les six thèmes de la partie maths et vous dit par où commencer.

Faire le test de maths gratuit

Pour aller plus loin

Pour s’entraîner sur des exercices progressifs et des productions d’élèves, avec des corrigés rédigés comme sur une copie, voyez la fiche « Nombres et calcul » du Pack Maths. Les autres pages gratuites du parcours : fractions et décimaux, proportionnalité et pourcentages, justifier et rédiger.

Fiche maths n° 1 · PDF · 31 pages

Fiche « Nombres et calcul » : cours, méthodes et 15 exercices corrigés

La fiche socle du Pack Maths : numération, opérations, divisibilité, PGCD et PPCM, repris depuis les bases, sans rien supposer acquis.

  • 8 points de cours, 5 méthodes pas à pas et 8 pièges fréquents expliqués
  • 15 exercices originaux de trois niveaux, avec corrigés rédigés, dont trois analyses de productions d’élèves
  • Une fiche mémo d’une page et une grille d’auto-évaluation
  • Elle fait partie du Pack Maths (6 fiches, environ 200 pages, 89 exercices corrigés)

7,90 € la fiche Nombres et calcul seule · ou 29,90 € pour le Pack Maths complet (6 fiches ; 47,40 € si les fiches sont achetées une par une)

Voir la fiche Nombres et calcul · 7,90 €

Voir le Pack Maths (6 fiches) · 29,90 €

PDF à télécharger dès le paiement · paiement unique, sans abonnement · mises à jour gratuites pour la session 2027 · TVA non applicable, art. 293 B du CGI

Questions fréquentes

Quel est le programme de maths du CRPE ?

Pour la session 2027, le programme des écrits repose sur les programmes du cycle 4 (collège) en vigueur à la rentrée 2026. Les exemples de sujets publiés par le ministère montrent des problèmes concrets et des productions d’élèves à analyser.

Faut-il savoir poser les opérations à la main ?

Oui, et savoir les justifier : expliquer une retenue avec le vocabulaire de la numération (10 unités = 1 dizaine) fait partie des attendus, puisque vous les enseignerez.

Le PGCD et le PPCM sont-ils vraiment utiles ?

Ils servent dans les problèmes de partage et de coïncidence, fréquents dans les sujets. Savoir lequel utiliser, et le dire, compte autant que le calcul.

Peut-on utiliser la calculatrice ?

Nous n’avons pas relevé de règle générale sur une source officielle : chaque sujet précise si la calculatrice est autorisée. Entraînez-vous sans : les calculs demandés se font à la main.

Combien de temps faut-il pour reprendre ce thème ?

Cela dépend de votre point de départ : faites le test de niveau gratuit. Si ce thème est fragile, commencez par lui, car les autres s’appuient dessus.

Sources et références

Pages et textes officiels consultés le 26/10/2026. Les dates de mise à jour des pages du ministère n’ont pas pu être relevées : en cas de doute, la page officielle fait foi.

Site indépendant, non affilié au ministère de l’Éducation nationale. Une erreur ? Écrivez à contact@concourscrpe.fr : elle est vérifiée et corrigée.